【数学】フェルマーの最終定理 証明編
さて、フェルマーの最終定理を証明しましょう。
フェルマーの最終定理とは何なのかわからない方はコチラ
【数学】フェルマーの最終定理 説明編 - TORM
証明に使う道具「ABC予想」について知らない方はコチラ
【数学】ABC予想を理解しよう！ フェルマーの最終定理の証明準備 - TORM
では参りましょう
証明
ABCトリプルに対して
C＜rad{ABC}²
が成り立つことを認めます。
つまり強いABC予想を正しいとするわけです。
さて、いきなりですが
x、yが互いに素の時を考えてみましょう
x、yは共通な素因数を持たないので、
xⁿ、yⁿも共通な素因数を持たないわけです。
つまりxⁿ、yⁿは互いに素となります。
ここで、互いに素なx、y、zに対して、
xⁿ＋yⁿ＝zⁿが成り立っていると、
xⁿ、yⁿ、zⁿはABCトリプルとなるわけですね
なのでABC予想を使うと
zⁿ
そしてrad{kⁿ}=rad(k)≤kは自明ですので。
zⁿ
また、x＋y＝z、x、yは自然数なのでx
さて、一番右と一番左を取り出して、
zⁿ
指数を比較するとz>1なので
n<6
つまりnが6より大きいことはないわけです。
あとは、6、5、4、3の場合で証明すればよく、
これはもうすでに証明されていますので
これでQEDですね。
なぜABC予想を使うと簡単になったのか
受験の整数問題でよく使う
不等式による押さえ込みで範囲を絞る
これが足し算でもできるようになる
ということが最大の要因でしょう。
便利な式ですね！
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