【数学・本質】数直線とは何？座標とは何？
こんにちはmysです！
今回は数直線と座標が何のために作られたのかを考えていこうと思います！
目次
1.予備知識
今回の記事を理解するのに必要な予備知識は2つです
1つ目は公理と定義についてです。
公理についてはTORMの
【数学・本質】『公理・定義・定理』違いわかる？３つについてわかりやすく解説！ついでに命題も！ - TORM
こちらの記事に書いてありますので、もし知らなかったら見てみてください！
2つ目は点についてです
点についてはTORMの
【数学・本質】点とは何？線とは何？面とは何？ - TORM
こちらの記事に書いてあります。
こちらの記事でも座標のことは触れていますが、それだけでは不十分で
本質的な理解には至らないと思いますので、
本記事をしっかりと読んでみてください！
それでは本編に参りましょう！
2.数直線とは何？
大前提ですが数直線とは何かがわからないと先に進めないので説明します。
まず、直線を考えます。
(直線なのでこの線は両端が無限に続きます)
こんなふうにして、直線上に点を2つ決めて、0と1にします。
そしてその距離を1と定義します。
これが数直線です。
こうすることによってこの直線で全ての数が表せます。
例えば全ての整数は
こんな風に距離1で等間隔に点を取れば表せます
矢印の方向は正(＋)の向きです。
小数や分数だって
こんな感じで表せます。
これが数直線です。
では、これの何が画期的なのでしょうか？
3.数で位置を表す
数直線で何ができるのか。
それは数を位置の情報にできます。
例えば−1などの負の数は数直線から生まれたものです。
大昔、数字はものを数えるために生み出されたので
数えるときは
１、２、３、４、５…
のように自然数しか使いません。
つまり、昔は0や負の数や分数や小数といったものは無かったわけです。
分数や小数はイメージしやすいですね
例えば0.5は「半分」で理解できます。
しかし0や負の数はどうでしょうか
「何もない数」が「0」
いや、なんで何も「ない」数が「ある」の？
「0」よりも「1小さい数」は「−1」
いや、「何もない数」よりも小さいってどういうこと？
って思いますよね。
これを解決したのが数直線です。
数直線を使えば
数が右にいくと増えて、
左にいくと減る
1よりも左にいけば0や−1があるということがとてもわかりやすく納得できますね。
そして、数直線の便利さはこれだけではありません。
数直線の位置が指定できるという特性が座標というものを考える時に、とても便利です。
4.座標とは何？
さて、座標についてです。
まず
このようにして、
数直線を2本、
直交(垂直に交わる）するようにします。
どちらも0で交わらせます。
このとき、交わった点は原点と呼ばれていて
アルファベットのO(オー)が使われます。
これは、数字の0(ゼロ)と
原点を英語にした
Origin(オリジン)の頭文字が由来です。
そして当然、垂直線は無限に伸びています。
数直線の矢印の方向が正の方向です。
横軸のことをx軸(エックスじく)
縦軸のことをy軸(ワイじく)
と呼びます。
そうすると平面上の全ての位置を数で表せます。
例えば
点Aは
x軸の正の方向に4
y軸の正の方向に3
と言えるわけです。
これを(4 , 3)と書きます
基本的に(x軸,y軸)と書きます。
また、点Bは
x軸の正の方向に−3
y軸の正の方向に−2
と言えるわけです。
x軸の負の方向に3
y軸の負の方向に2
とも言えますが
基本的に正の向き基準で考えます。
すると、点Bは
(-3 , -2)と表せます。
原点Oはx、yどっちも
正の方向に0なので
(0 , 0)と表せますね。
このように
点の位置の情報を数で表せていますね。
小数や分数を使えば全ての位置が表せますね。
これが座標です。
座標にはいろいろな種類があるので
少し見てみましょう
5.いろいろな座標
座標はいくつかの数直線を用いて、
数で位置を表すものです。
では数直線の数を増やしてみたらどうなるでしょうか。
例えば3本の数直線を用いると、
こんな感じ
たて、よこ、高さ
が表せるようになります。
軸の名前はx、y、zの3つになることが多いです。
こうすることによって、
空間の位置も表せます。
このような座標を
(3次元)空間座標と言います。
3次元はつけてもつけなくてもどっちでもいいです。
基本的に4次元以上のものを考える時には3次元と言う時が多いです
先ほどの数直線2本の座標は
2次元空間座標もしくは平面座標
と言います。
また、数直線が4本交わった場合を考えると
これは不可能なんじゃないかと思いますが
実は可能です。
簡単に言うと、
私たちとは違う世界まで軸を伸ばせば、4次元空間座標を考えられます。
これについては他の記事で、詳しくやっていこうと思いますので、読んでいただけると嬉しいです。
さて、今度は数直線の本数を変えるのではなく、交わらせかたを変えましょう。
先ほど、数直線は直交(垂直に交わる)と言いました。
しかし、たまに、斜めに交わらせることがあります。
こんな感じです、
この点は(−2.5 , 3)となりますね。
このように斜めに交わっている座標を
斜交座標と言います。
それに対して、
垂直になっているのは
直交座標と言います。
斜交座標は図形問題を考えるときや、
物理学で、時空図という時間と空間の関係を説明するときに使ったりもします。
これら以外にも座標の種類はあります。
日常生活だと、
世界地図の緯度、経度などは
座標の一種ですね。
日常生活で、座標が使われているものを探してみると面白いかもしれませんね！
ということで、今回は数学界が大きく変えた
数直線、座標について話していきました。
それでは
御精読ありがとうございました(๑ ॣ•͈ٮ•͈ ॣ)♡
6.補足
はい。
今回の補足ですが実は本記事では一番大事な前提を書いていません。
それは数の連続性についてです。
正確にいうと実数の連続性についてです。
今回言う数とは実数のことです。
もし、数が連続でないと、数直線は
こんな感じで虫食いになってしまいます。
こうなってしまうと、数学の学問自体成り立たなくなってしまうので、
数(実数)が連続であることは公理です
これは数学において最も大切な公理の1つですので、覚えておいてください。
それでは(๑ ॣ•͈ٮ•͈ ॣ)♡
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