【数学・本質】関数を広義的に捉える
こんにちはmysです！
今回は関数について広く考えていきます！
目次
1.予備知識
この記事を読むのに必要な知識は1つです
それは関数についてです
関数については
【数学・本質】関数とは何？ - TORM
TORMのこちらの記事に書いているので
知らなかったら読んでみてください。
それでは本編に行きましょう
2.2変数関数
今までの関数はあるxに対してyが出てきました。
すこし変えてみます。
あるxとyに対してzが出てくるという式を考えます。
例えば
z=x+y
1つのxとyの組に対してzがただ1つ出てきているので、この式は関数と言えますね。
このような関数を2変数関数といいます。
変数2個によってある値が決定するので2変数関数といいます。
当然もっと増やしてもいいです。
グラフはどうなるかというと、
座標空間になりますね。
まあこれは想像しやすいでしょう。
3.写像
さて、写像という全くわけのわからない概念がいきなり登場しました。
軽く説明しますね
まず、数を集めたものを集合といいます。
例えば、1.2.3.4.5...と集めるとこれは自然数の集合となりますね。
そしてこの集合から、数を1個取り出します。
この取り出したものを集合の元といいます。
例えば、自然数の集合だと、1は元です。
2も元です。0.5は元ではありません。
ここで、2つの集合を考えます。
例えば、
集合Aを自然数の集合
集合Bを負の整数の集合
としましょう。
集合Aの元と集合Bの元で組を作ります。
今回は集合Aと集合Bの元は符号を入れ替えたもの同士で組を作ります。
例えば１と−１、２と−２といったような感じです。
これを図にすると
簡単にいうとこうやって対応させるのが写像です。
まあ厳密な定義はしません。
これって関数に似てませんか？
Aから一個選んでxに入れると
yが出てくる。そのyの集合をBとしたらこれも関数ですね。
こんな解釈ができます。
また、これは数の集合以外にも応用できます。
例えば平仮名の集合とカタカナの集合を考え
あ→ア、い→イ
のようにしていけばこれも写像と言えます。
つまりこれも関数ですね。
プログラミングをやっている方は親近感がわくかもしれません。
4.陰関数
さて、関数とはxに対応するyがただ一つではないといけませんね。
y²＝-x²＋4
を考えると、これは
y=±√(-x²+4)
となりxに何か入れると数が2つ出てくるのでこれは関数とは言えませんが
これを
y=√(-x²+4)
y=−√(-x²+4)
に分けるとどちらも関数です。
つまりy=±√(-x²+4)には
2つの関数が隠れているわけです
これを陰関数と言います
厳密な定義はしません。
グラフで見ると
y²＝-x²＋4
つまり
y=±√(-x²+4)
y=√(-x²+4)
y=−√(-x²+4)
確かに合わせるともともとのグラフになりそうです。
まとめ
高校生レベルで使いそうなものをまとめてみました。
まだまだたくさんありますがこれまでとしましょう。
御精読ありがとうございましたv(oゝω・o)v
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